Você reconhece uma parábola de olho. Mas reconhecer não é ler, e o formato engana: duas curvas parecidas podem vir de máquinas completamente diferentes. Aqui a curva aparece sem nome, e o único caminho até a resposta é o que ela faz — a taxa. E a taxa não vem pronta: você a levanta, ponto a ponto, com a própria mão, até ela virar uma segunda curva feita das suas medidas.
Faça: arraste onde medir e os pontos vermelhos vão ficando para trás. medir sozinho varre por você, limpar as medidas recomeça. Mexa no passo h: numa família ele quase não muda a resposta — no bico e no salto, muda tudo. Só depois responda.
Não existe número de tipos de curva, e todo catálogo é escolha de quem escreve. Decorar uma lista de formatos é o contrário de ler. O que existe é um organizador — o que a taxa faz — e ele cabe em seis linhas:
taxa zero, constante. Taxa sempre a mesma e não zero, reta. Taxa que é uma reta, parábola. Taxa que é uma parábola, cúbica. Taxa proporcional à própria curva, exponencial. Taxa da mesma família, deslocada, seno e cosseno. E taxa que salta não é família nenhuma: é defeito.
Porque são as que a taxa não tira do lugar. Polinômio deriva em polinômio, com o grau caindo de um. A exponencial deriva nela mesma. Seno e cosseno derivam um no outro, e voltam ao começo em quatro passos. Uma família que a taxa levasse para fora dela mesma não teria capítulo: cada conta abriria um objeto novo, e não haveria o que aprender de uma vez.
O h é o passo da medida: Δf dividido por 2h, a
inclinação de uma cordinha centrada no ponto. Nas famílias, mudar o passo quase não muda a
resposta. No bico, muda tudo: a taxa medida sobe em rampa em vez de saltar, e a rampa
fica mais estreita conforme o passo diminui — a rampa era do instrumento, não da
curva. No salto, o valor medido dispara e cresce sem parar quando o passo encolhe.
É aqui que medir para de bastar. Medir a taxa é uma coisa; provar que ela é aquela é outra, e precisa da operação que o limite traz. Este é o assunto do C2 — antes da palavra limite — e a estação da família mora lá.
A fatia da taxa faz o caminho contrário: você escolhe o nome num botão e vê a curva e a taxa dela. Aqui a curva vem sem nome, e o nome é a sua conclusão. As duas juntas fecham o par — regra que vira curva, e curva que vira regra.
As onze curvas de família deste instrumento foram conferidas em código: classificar
cada uma só pelo que a taxa medida faz devolve o rótulo certo nas onze, e a resposta não
muda entre h = 0,03 e h = 0,6. As duas de defeito mudam — é a
diferença que a folha quer que se veja.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. A taxa f′ já foi declarada na fatia da taxa, duas antes desta — aqui ela só é medida.