A palavra tangente nomeia duas coisas diferentes: um comprimento medido no círculo e a reta que encosta numa curva. Elas não são sinônimos, e também não são meros homônimos — encontram-se exatamente uma vez, numa identidade só, e é esse encontro que esta folha desenha.
Faça: ande com x e olhe o ângulo θ: o que a reta tangente faz com o chão é o mesmo ângulo lá no círculo. O segmento dourado da esquerda tem o mesmo comprimento do cateto dourado da direita — e como os dois painéis dividem a escala, isso se confere com a régua. os nomes do triângulo mostra quem é quem.
1. Os dois dourados têm o mesmo comprimento, sempre. À esquerda é o segmento de
tangente do círculo de raio 1 — o tg θ que a fatia do círculo mediu. À direita
é o quanto a curva sobe quando você anda 1 para a direita sobre a reta tangente. São o
mesmo número, e por isso f ′(x) = tg θ.
2. É o triângulo de sempre. Ligue os nomes do triângulo: o cateto adjacente vale 1 e o oposto vale f ′(x). E tangente é oposto sobre adjacente — só que com o adjacente valendo 1, a divisão não faz nada, e a tangente é o oposto. O mesmo triângulo de o-triangulo.html e o mesmo OAT de o-circulo.html.
3. Onde a curva está deitada, o ponto do círculo está no chão. Num máximo ou num mínimo a reta tangente fica horizontal: θ = 0, o segmento dourado some, e f ′ = 0. Onde a curva desce, θ é negativo e o segmento aponta para baixo. A inclinação não é uma metáfora — é um ângulo, e ele está desenhado.
Uma cor muda aqui, de propósito. Nas outras fatias o cateto que sobe é terracota — é o componente perpendicular. Nesta ele é dourado, a cor da tangente, porque a tese da fatia é exatamente que ele é o segmento de tangente do círculo. A troca é o argumento, e por isso está declarada em vez de acontecer calada.
A reta tangente ganhou o nome por encostar; o comprimento no círculo ganhou o nome por ser medido sobre a reta que encosta no círculo. Vêm da mesma palavra latina e nomeiam objetos diferentes — mas não são um acidente de vocabulário: elas se juntam nesta igualdade, e em nenhum outro lugar. É a folha "Onde as duas se encontram" do C1, e o que o arco de cálculo inteiro usa a partir do C2.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. É onde os dois sentidos
da palavra tangente se encontram — o comprimento no círculo, que as fatias da medida
construíram, e a reta que toca a curva, que a taxa mostrou andando.