Inclinação é quanto sobe ao andar um. Dita assim, a frase não ensina nada — ela vira definição decorada. Aqui ela vira dois comprimentos no mesmo espaço, e a afirmação passa a se conferir com a régua em vez de se aceitar de palavra. Um painel só, e tudo nos mesmos eixos: a função, a reta que a toca e a taxa.
Faça: ligue a taxa e compare o cateto vermelho do triângulo com a altura da curva vermelha no mesmo x — é o mesmo comprimento, duas vezes. Feche o h e veja a secante virar tangente. Ligue a área e arraste o chão: o eixo x não tem nada de especial.
Arraste o h para a esquerda. Com h grande há dois pontos e uma reta
secante — o quociente Δf/h é a inclinação dela. À medida que h fecha,
os dois pontos viram um e a secante vira a tangente: Δf/h vai
encostando em f ′(x), e você vê os dois números se aproximarem na linha de
leitura. É a Estação 4 do C2 — "a reta por dois pontos, quando os
dois viram um".
Onde a taxa cruza o zero, a curva vira. Na parábola, o vértice não é um lugar especial da curva azul — é onde a vermelha cruza o zero. Sobe antes, desce depois. É como Fermat achava máximo sem derivada, no C2 §4.
Onde a taxa não existe, a curva tem defeito. No bico, a taxa salta: a reta tangente não sabe qual escolher, e por isso não há uma. No salto, nem contínua a função é. Os três defeitos são da Estação 2 do C1; continuidade em um ponto é a Estação 4 do C3.
Os círculos brancos no eixo marcam Bolzano. Onde a função troca de sinal, ela passou pelo zero — sem precisar achar onde. C3, Estação 5.
A constante é o que a taxa não vê. Na reta constante, a curva vermelha deita no
zero. Somar uma constante à azul não muda nada na vermelha — é o que ker D
quer dizer, e é a razão do +C da integral.
A exponencial se persegue. Nela a vermelha é uma cópia encolhida da azul: a taxa é proporcional ao próprio valor. Nenhuma outra família faz isso.
Em sen x / x o zero é um buraco — 0/0 — e as duas paredes
aparecem: entre −π/2 e π/2, a curva fica presa entre o cosseno e o 1. As duas vão a 1, e
a do meio não tem para onde fugir. É o Teorema do Confronto, C4 §2, e
o limite que fecha a série.
Sobre as duas últimas funções da lista.
seno e sen x / x gastam trigonometria, que esta fatia não
ensina e não precisa: o que ela diz — a altura de baixo é a inclinação de cima — vale
para qualquer curva. Estão aqui porque são bons exemplos, e ficam legíveis depois do
ramo do ângulo, do triângulo e do círculo. As sete primeiras não emprestam nada.
Ligue a área e arraste o chão. O eixo x não tem nada de especial: ele é o gráfico da função constante zero, e a área é medida entre a curva e ele. Trocando o chão, a mesma operação vira a área entre duas curvas — e o chão habitual é tão habitual que a gente esquece que escolheu, como a base canônica na álgebra linear.
Tangente e área moram no mesmo instrumento de propósito: o Teorema Fundamental diz que são a mesma coisa lida nos dois sentidos. A área por aprisionamento é a Estação 2 do C2 — o gesto de Arquimedes.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. Irmão do
desenrolamento.html — aquele mostra de onde vem o número; este,
como o número muda.