A folha do círculo deixa uma pergunta no ar: eu conheço o seno como uma onda — o que ele tem a ver com este círculo? A resposta é literal, e não é analogia: a altura do ponto é a altura do gráfico, e só a entrada mudou de lugar. No círculo ela é uma rotação; no gráfico, uma posição.
Faça: arraste a e olhe a ligação tracejada — ela é horizontal de propósito, porque as duas metades da tela dividem a mesma escala vertical e a mesma linha do zero. Aperte animar para ver a curva ser escrita, e ligue mostrar a tangente e mostrar o arco para comparar os três comprimentos.
1. A ligação tracejada é horizontal. Ela não é enfeite: é a afirmação de que a altura do ponto no círculo é a altura do gráfico. O círculo não vira gráfico por analogia — vira porque a saída é a mesma e só a entrada muda de lugar. No círculo a entrada a é uma rotação; no gráfico ela é uma posição horizontal.
2. A reta vertical pontilhada é a reta tangente ao círculo em (1,0). É por isso
que a tangente se chama tangente: o valor tg a é um comprimento medido
sobre a reta tangente. O ponto T é onde a reta que passa pela origem e por P
encontra essa reta — e é por isso que T dispara quando P se aproxima da vertical: as duas
retas ficam paralelas e não se encontram mais. A assíntota do gráfico da tangente é isso,
vista de perto.
3. O arco tem comprimento |a|. É a definição de radiano, e é o que deixa comparar
os três: altura < arco < tangente. Essa desigualdade, obtida sem conta nenhuma,
é o que prova o limite de sen(x)/x.
A palavra tangente nomeia dois objetos: o comprimento sobre a reta tangente ao círculo, que é o que esta página desenha, e a reta tangente a uma curva — a que encosta e segue a inclinação. Elas não são intercambiáveis, mas também não são meros homônimos: encontram-se numa identidade só.
f ′(x) = tg θ
A derivada é a tangente trigonométrica do ângulo θ que a reta tangente faz com o eixo x. Inclinação de reta é tangente de ângulo — a mesma razão do triângulo, com o triângulo deitado sobre a curva em vez de dentro do círculo.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. Companheiro da Estação 5 do C1 · Ler um gráfico.