Seno, cosseno e tangente não são botões de calculadora: são comprimentos, medidos a partir de um chão que alguém escolheu. A escolha costuma ser invisível — a horizontal é tão habitual que parece a natureza das coisas. Este é o instrumento em que ela fica à vista, e onde dá para desfazê-la com a mão.
Faça: incline o chão e veja o aparelho inteiro girar junto. Mexa no raio e olhe as duas colunas da tabela: os comprimentos mudam, as razões não. Ligue o arco para comparar seno, arco e tangente a olho, e a onda para ver o círculo escrever a senoide.
| comprimento no desenho | razão (dividida pelo raio) | |
|---|---|---|
| cosseno — ao longo do chão | ||
| seno — perpendicular ao chão | ||
| tangente — sobre a reta tangente | ||
| arco — do zero até o ponto | ||
| raio | 1 (por definição) |
1. Os três são comprimentos, não números mágicos. O cosseno é o quanto o ponto avançou ao longo do chão; o seno, o quanto ele subiu a partir do chão; a tangente é medida sobre a reta que encosta no círculo — e é daí que vem o nome dela. São os quatro comprimentos da Estação 5 do C1.
1b. O T não é um ponto solto. A reta fina que passa pela origem e pelo ponto P segue em frente e encontra a reta tangente: é esse encontro que define o T, e é por isso que o comprimento da tangente cresce sem limite quando o raio se aproxima da perpendicular ao chão — as duas retas vão ficando paralelas. E quando o T passa da moldura ele não some: a tangente é cortada na borda, com ponta de seta e o valor à mostra. Sumir calado esconderia justamente a assíntota — que é o que se veio ver.
E ela paga mais: com essa reta desenhada, os dois triângulos que aparecem —
o pequeno, de lados cosseno e seno, e o grande,
de lados raio e tangente — são semelhantes. A razão entre
os lados é a mesma nos dois, e isso é, como desenho e não como fórmula,
tg θ = sen θ / cos θ.
2. Incline o chão. Nada de essencial muda: os três comprimentos continuam os mesmos, girados junto. O ângulo nunca foi "em relação à horizontal" — foi sempre em relação ao chão que a gente declarou. A horizontal é a escolha habitual, e é tão habitual que parece a natureza das coisas.
3. Mexa no raio, e olhe as duas colunas da tabela. Os comprimentos mudam. As razões não. É por isso que o círculo de raio 1 existe: nele, e só nele, o comprimento é a razão — e aí dá para chamar o desenho de "seno" sem mentir.
4. Ligue o arco. Com raio 1, o comprimento do arco é o ângulo em radianos — é essa a definição, e não uma conversão. E os três ficam comparáveis a olho: seno < arco < tangente. Essa desigualdade, obtida sem conta nenhuma, é o que prova o limite que fecha a série no C4.
Ligue a onda e mande girar. A altura do ponto — o seno — é levada para uma posição, e a curva vai sendo desenhada enquanto o ângulo anda: não é uma senoide que aparece pronta, é o círculo escrevendo uma. Arraste o ângulo com a mão e o traço avança e recua com você. A ligação tracejada é horizontal de propósito — ela afirma uma coisa só: é a mesma altura, em dois lugares.
Mexa no raio com a onda ligada. A amplitude é o raio — a onda não tem uma altura própria, ela tem a altura do círculo que a gerou.
Por que o chão trava. Ao ligar a onda, o cursor do chão volta a zero à vista e fica travado. Não é enfeite nem descuido: a faixa desenrolada tem quase meio milhar de pixels de comprimento, e não existe como girá-la dentro desta moldura sem que ela saia da tela — medimos. Desenrolar exige escolher um chão, e aqui a escolha é a habitual. Desligue a onda e a sua inclinação volta exatamente como estava.
O eixo de baixo marca π e 2π para você ler a posição, mas está comprimido: ele não está na mesma escala do raio. Esta folha quer a imagem do fenômeno; quem faz a mesma passagem em escala, com o arco e a tangente junto, é a folha seguinte — o desenrolamento.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. Da mesma família de
par-vira-ponto.html e taxa.html.