Um círculo não é desenhado: ele é gerado por uma condição — todos os pontos que estão à mesma distância de um centro. E a distância de um ponto até a origem é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o próprio x e o próprio y. O círculo nasce do triângulo, e aqui dá para ver isso acontecendo.
Faça: arraste x e y e acompanhe a hipotenusa se formando. Depois fixe a distância exigida r e aperte varrer todos os pontos a essa distância: o círculo aparece como resultado da condição, não como traço de lápis.
1. A distância é uma hipotenusa. Ande com o ponto e olhe o triângulo: os catetos são exatamente o x e o y do ponto, e a distância até a origem é a hipotenusa. Não é analogia — é o mesmo triângulo da fatia anterior, com os catetos deitados sobre os eixos. É por isso que o triângulo vem antes do círculo.
2. O círculo é o conjunto que satisfaz uma condição. Escolha um r e varra: os pontos que cumprem distância = r ficam marcados, e o rastro deles é o círculo. Ninguém o desenhou — ele é o que sobra quando se exige uma coisa só de todo ponto do plano.
3. E a condição, escrita, é a equação. Elevar ao quadrado tira a raiz e sobra
x² + y² = r². Olhe a linha de leitura enquanto anda: quando a soma
x² + y² encosta em r², o ponto está no círculo. A
equação não é uma fórmula a decorar — é a condição, dita em símbolos.
Um conjunto de pontos definido por uma condição chama-se lugar
geométrico. O círculo de raio 1 é o lugar geométrico dos pontos do plano
cuja distância à origem vale 1 — e a condição, escrita, é
x² + y² = 1.
Esse conjunto tem nome próprio na matemática: S¹. E aqui mora uma armadilha que vale desarmar antes de ela pegar, porque nesta mesma página aparecem três sobrescritos com três significados:
x² | o 2 é potência — x multiplicado por si mesmo |
ℝ² | o 2 é a dimensão do espaço onde a coisa mora — o plano tem dois eixos |
S¹ | o 1 é a dimensão da própria coisa — o círculo é uma curva, e curva é unidimensional |
Um círculo desenhado no plano é um objeto de uma dimensão dentro de um espaço de duas: quem anda sobre ele tem uma liberdade só — para frente ou para trás ao longo da curva. É a mesma ideia da primeira fatia, um andar acima.
Por que sen² + cos² = 1. Ponha r = 1. Um ponto do círculo
unitário tem coordenadas (cos θ, sen θ) — é a fatia do círculo que mostra
isso, com o cosseno ao longo do chão e o seno perpendicular a ele. Substituindo na
condição: cos²θ + sen²θ = 1. A identidade fundamental é Pitágoras no
círculo de raio 1, e não uma fórmula nova.
Por que o círculo precisa de duas contas para ser escrito. Teste a regra da
função: para x = 0 e r = 2 existem dois pontos,
y = +2 e y = −2. Uma entrada, duas saídas — o círculo
não é função, e quebra a exigência que a primeira fatia estabelece. É exatamente
por isso que ele é escrito como (r·cos θ, r·sen θ): um ângulo entra, e os
dois números saem juntos.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. Entre
o-triangulo e o-circulo na ordem da família.