Um ângulo não tem tamanho próprio. Ele é uma abertura, e abertura não se mede sem que alguém desenhe um arco — é na escolha desse arco que aparecem as duas maneiras de ler o mesmo ângulo. Uma delas foi inventada por decreto, há quatro mil anos, e a outra o círculo dá de graça. Saber qual é qual muda tudo o que vem depois.
Faça: abra o ângulo com a abertura e depois mexa em raio do arco — o ângulo não muda, o arco muda. Ligue três arcos ao mesmo tempo para ver isso de uma vez, e a divisão em 360 para ver de onde veio o grau.
| o que se mede | o que se lê | |
|---|---|---|
| o arco | um comprimento — muda com o raio | |
| o raio | o que se usou como régua | |
| radianos | arco ÷ raio — não muda com o raio | |
| graus | a fatia de uma volta, se a volta for cortada em 360 |
1. Mexa no raio. O arco estica e encolhe — ele é um comprimento, e depende de onde você desenhou. Mas a linha dos radianos não se mexe. Ligue três arcos ao mesmo tempo: três comprimentos diferentes, uma razão só. Isso é o radiano: não uma unidade que alguém escolheu, mas o arco medido com o próprio raio.
2. Abra até a volta inteira. O arco vira a circunferência, e a leitura em radianos para em 6,28318… — que é 2π. E aí o π deixa de ser um número que aparece do nada: ele é a circunferência dividida pelo diâmetro, ou seja, o quanto o círculo mede quando medido com o próprio raio. Ele cai da conta, não da convenção.
3. Ligue a divisão em 360. Nada no desenho pede 360. É uma partição herdada da astronomia babilônica, escolhida porque 360 se divide bem — por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18… O grau é cômodo, e é só isso. Não carrega informação nenhuma sobre o círculo. Meia volta são 180 graus porque alguém dividiu assim; meia volta são π radianos porque a metade da circunferência dividida pelo raio dá π.
Não é preferência de notação. Só em radianos vale sen′ = cos — a derivada
do seno é o cosseno, limpa. Em graus a mesma derivada sai com um π/180 pendurado,
e ele volta a aparecer em toda conta dali para a frente. A escolha da unidade suja ou
limpa o cálculo inteiro.
Isso se vê na taxa.html: a curva vermelha do seno é o cosseno
exatamente — e só é exatamente porque a entrada está em radianos.
Instrumento local, autocontido: sem rede, sem biblioteca externa. Fatia da mesma família
de par-vira-ponto, taxa e o-circulo.